Алгоритм Флойда - Уоршелла

Алгоритм Флойда - Уоршелла — динамический алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом и Стивеном Уоршеллом.

Более строгая формулировка этой задачи следующая:
есть ориентированный граф G = (V, Е) каждой дуге v -> w этого графа сопоставлена неотрицательная стоимость C[v, w]. Общая задача нахождения кратчайших путей заключается в нахождении для каждой упорядоченной пары вершин v, w) любого пути от вершины v в вершины w, длина которого минимальна среди всех возможных путей от v к w.

Формальное описание     [вверх]

Для определенности положим, что вершины графа последовательно пронумерованы от 1 до n. Алгоритм Флойда использует матрицу А размера п * n, в которой вычисляются длины кратчайших путей. Вначале A[i, j] = C[i, j] для всех i != j. Если дуга i -» j отсутствует, то C[i, j] = infinity. Каждый диагональный элемент матрицы А равен 0.

Над матрицей А выполняется п итераций. После k-й итерации A[i, j] содержит значение наименьшей длины путей из вершины i в вершину у, которые не проходят через вершины с номером, большим k. Другими словами, между концевыми вершинами пути i и у могут находиться только вершины, номера которых меньше или равны k. На k-й итерации для вычисления матрицы А применяется следующая формула:
A_k[i,j]=min(A_k-1[i,j], A_k-1[i,k]+A_k-1[k,j])

Нижний индекс k обозначает значение матрицы А после k-й итерации, но это не означает, что существует п различных матриц, этот индекс используется для сокращения записи. Для вычисления A_k[i, j] проводится сравнение величины A_k-i[i, j] (т.е. стоимость пути от вершины i к вершине j без участия вершины k или другой вершины с более высоким номером) с величиной A_k-1[i, k] + A_k-1[k, j] (стоимость пути от вершины i до вершины k плюс стоимость пути от вершины k до вершины j). Если путь через вершину k дешевле, чем A_k-1[i, j], то величина A_k[i, j] изменяется.

Оценка сложности     [вверх]

Время выполнения этой программы, очевидно, имеет порядок 0(V³), поскольку в ней практически нет ничего, кроме вложенных друг в друга трех циклов. Доказательство "правильности" работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по k, показывая, что на k-й итерации вершина k включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.

Пример     [вверх]

Визуализатор для алгоритма Флойда - Уоршелла.

Пример графа и таблица расстояний для него

	0	1	2	3	4
0	0	12	5	--	22
1	7	0	11	--	10
2	14	7	0	--	17
3	19	12	5	0	4
4	15	8	1	--	0